MACAM-MACAM BILANGAN
Keterangan:
>> Bilangan Kompleks
Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan realb disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
Contoh bilangan tersebut adalah:
· 
· 5 + 2i ditulis (5,2), dengan x = 5 dan y = 2
· 3 + 5 i
· 11 – i
· 3 + 6 i (3 adalah bagian nyata, 6i adalah bagian imajiner)
· 4 - 2i B
· x + yi
>> Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
atau secara ekivalen
atau juga sering dituliskan sebagai
.Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai dibidang
teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:
), dengan j = −i.>> Bilangan Real
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner. Contoh bilangan itu adalah:
* 2 – log 5
* 
Misalnya bilangan real p, q, r dan s.
- Jika p < q dan q < r, maka p < r
Contoh : -2 < 3 dan 3 < 6, maka -2 < 6
- Jika p < q, maka p + r < q + r dan p – r < q – r
Contoh : -4 < 5, maka (-4 + 3) < (5 + 3) dan (-4 – 3) < (5 – 3)
- Jika p < q dan r < s, maka p + r < q + s
Contoh : -9 < -2 dan 3 < 6, maka (-9 + 3) < (-2+6)
- Jika p < q, maka p.r < q.r untuk r positif, dan p.r > q.r untuk r negatif
Contoh : -3 < 2, maka (-3.4) < (2.4) dan (-3.(-4)) > (2.(-4))
- Jika p dan q keduanya positif atau keduanya negatif, dan p < q maka 1/p > 1/q
Contoh : 3 < 4 maka 1/3 >1/4
- Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka selang tertutup dari a ke b, ditulis [a, b]
Didefinisikan : [a, b] = { x : a ≤ x ≤ b }
Kurung siku menunjukkan titik ujungnya termasuk dalam selang.
Contoh : [-2, 4] = { x : -2 ≤ x ≤ 4 }
- Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka selang terbuka dari a ke b, ditulis (a, b)
Didefinisikan : (a, b) = { x : a < x < b }
Kurung biasa menunjukkan titik ujungnya tidak termasuk dalam selang.
Contoh : (-4, 6) = { x : -4 < x < 6}
>> Bilangan Irrasional
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, 
, dan bilangan e.
, dan bilangan e.Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan :
:= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:
= 2,7182818....
Bilangan irrasional juga bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Contoh bilangan tersebut adalah:
dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Contoh bilangan tersebut adalah:* 
* log 2 = 0,301029995…
* e = 2,718281828…
* √ 3 = 1.732050807….
* 22 / 7 = 3,1428571428…
* √ 99 = 9.9498743710…
>> Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Contoh Bilangan tersebut adalah:
* 
* 
* 
= 0,98787768638
= 0,98787768638* 
= 0,1211111...
= 0,1211111... * 
= 0,25252525...
= 0,25252525...>> Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a bilangan bulat dan b ≠ 0.
>> Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau 
), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
| | Penambahan | Perkalian |
| a + b adalah bilangan bulat | a × b adalah bilangan bulat | |
| a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c | |
| a + b = b + a | a × b = b × a | |
| Eksistensi unsur identitas: | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Eksistensi unsur invers: | a + (−a) = 0 | |
| a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | ||
| Tidak ada pembagi nol: | | jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya) |
>> Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
>> Bilangan Nol
Bilangan nol adalah nol (0) itu sendiri.
>> Bilangan Asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar (Inggris: apes) juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
>> Bilangan Genap
Bilangan genap adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua. Bilangan tersebut adalah 2, 4, 6, 8, ….
>> Bilangan Ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, ….
Tidak ada komentar:
Posting Komentar